Συνεχή Κλάσματα

Abstract

Chapter 2 is devoted to the theory of continuous fractions. More precisely, we study the presentation of the rational in finite continuous fraction and the presentation of irrationals in infinite continuous fractions. We prove that the sequence of convergent fractions of the infinite<br/>fraction of an irrational number converges to this number and we give a sufficient condition for a rational number to be a convergent fraction of the continuous fraction of a number. Furthermore, we prove that a quadratic irrational if and only if the sequence of the terms of its continuous fraction is periodic.

Το Κεφάλαιο 2 είναι αφιερωμένο στη θεωρία των συνεχών κλασμάτων. Πιο συγκεκριμένα, μελετάμε την παράσταση των ρητών σε πεπερασμένα κλάσματα καθώς και την παράσταση των αρρήτων αριθμών σε άπειρα κλάσματα. Αποδεικνύουμε ότι η ακολουθία των συγκλινόντων ρητών του απείρου συνεχούς κλάσματος ενός αρρήτου αριθμού συγκλίνει σ' αυτόν και δίνουμε μία ικανή συνθήκη, ώστε ένα κλάσμα να είναι συγκλίνων ρητός του συνεχούς κλάσματος ενός αριθμού. Επιπλέον αποδεικνύουμε ότι ένας άρρητος είναι τετραγωνικός αν και μόνον αν η ακολουθία των όρων του συνεχούς του κλάσματος είναι περιοδική.