Αλγεβρική θεωρία αριθμών

Abstract

Πρόκειται για ένα σύγχρονο σύγγραμμα το οποίο καλύπτει την κλασική μελέτη της Αλγεβρικής Θεωρίας Αριθμών. Το κίνητρο ανάπτυξής της αποτέλεσε η Εικασία Fermat. Στην αρχή διατυπώνουμε τα θεωρήματα και τα αποδεικνύουμε στην πιο απλή, μη-τετριμμένη περίπτωση, αυτή των τετραγωνικών σωμάτων. Ακολουθούν κεφάλαια με περιεχόμενο τη μελέτη βασικών εννοιών, όπως: Ακέραια εξάρτηση, δακτύλιοι του Dedekind, norm στοιχείων, ίχνος, βάση ακεραιότητας, διακρίνουσα, norm ιδεωδών, ο νόμος ανάλυσης, το Θεώρημα του Minkowski, το πεπερασμένο του αριθμού κλάσεων ιδεωδών, καθώς και το Θεώρημα Μονάδων του Dirichlet. Η Θεωρία Διακλαδώσεων του Hilbert, ο Γενικός Νόμος Αντιστροφής για αβελιανές επεκτάσεις (η γενική μη-αβελιανή περίπτωση είναι μέχρι σήμερα ανοιχτό πρόβλημα και αποτελεί μέρος της λεγόμενης «φιλοσοφίας του Lasnglands), τα Θεωρήματα της Διακρίνουσας και της Διαφορίζουσας, καθώς και το Θεώρημα των Kronecker-Weber, αποτελούν κάπως πιο προχωρημένα θέματα. Στα τελευταία δύο κεφάλαια, επιστρέφουμε στην Εικασία Fermat, μελετούμε τα αποτελέσματα του Kummer και περιγράφουμε την τελική απόδειξη της Εικασίας από τους Frey, Serre, Ribet και Wiles. Στο κεφάλαιο αυτό χρησιμοποιούνται ιδιαίτερα μέθοδοι και τεχνικές της λεγόμενης Αριθμητικής Αλγεβρικής Γεωμετρίας, με στοιχεία από τη Θεωρία Ελλειπτικών Καμπυλών, Modular Συναρτήσεων και Galois Αναπαραστάσεων. Το βιβλίο περιέχει αρκετά παραδείγματα, ικανό αριθμό ασκήσεων και αναλυτική βιβλιογραφία. Προαπαιτούμενα για την κατανόηση της ύλης είναι η Θεωρία Galois, και το περιεχόμενο του Παραρτήματος του παρόντος βιβλίου (Κεφάλαιο ΧΙΙΙ). Ευελπιστούμε ότι θα φανεί ιδιαίτερα χρήσιμο στη φοιτητιώσα νεολαία μας, καθώς και σε κάθε άλλον ενδιαφερόμενο, προκειμένου να απολαύσει κάτι από την ομορφιά της Θεωρίας Αριθμών.

This is a modern book covering classical Algebraic Number Theory, a branch of Number Theory originally motivated by Fermat’s conjecture. The book begins by providing the formulations of the respective theorems and their proofs in the most simple, non-trivial setting, namely that of quadratic fields. In the following chapters basic notions are, including for example Integral Dependence, Dedekind Rings, Norm of the Elements, Trace, Integral Basis, Norm of Ideals, Class Numbers, Law of Analysis of Prime Ideals, Minkowski’s Theorem, the Finiteness of the Class Number as well as Dirichlet’s Unit Theorem. These contents correspond to the undergraduate part of a basic course on Algebraic Number Theory. The following chapters cover Hilbert’s Ramification Theory, the General Reciprocity Law for Abelian Extensions of Number Fields (note that for the non-Abelian case, the problem is in general open and a part of the so called “Langlands Philosophy”), the Discriminant and Different theorems and the Kronecker-Weber theorem. These are more advanced subjects and in our view suitable for an advanced undergraduate course. Finally the last two chapters return to Fermat’s Conjecture, study the results of Kummer and describe the complete proof of the Conjecture through the results of Frey, Serre, Ribet and Wiles. This last chapter is mostly based on specific methods and techniques of the so called Arithmetic Algebraic Geometry, and contains elements from the Theory of Elliptic Curves, Modular Forms and Galois Representations. The book contains numerous examples, a large number of exercises and extensive bibliography. As a prerequisite we expect that the reader has some basic knowledge of Galois Theory and the contents of the Appendix (chapter XIII) of the book. We aspire that the present book will be particularly useful not only for students but for anyone interested in getting a glimpse of the beauty of Number Theory.